Математическое моделирование

Лабораторная работа № 2

Бахи Сиди Али

Российский университет дружбы народов

2026-02-26

Вводная часть

Цель работы

Показать, как строится математическая модель, позволяющая выбрать оптимальную стратегию поиска и преследования.

Сюжет: в тумане катер береговой охраны преследует лодку браконьеров. На короткий промежуток времени видимость улучшается, и лодка фиксируется на расстоянии \(k\) км от катера. Далее лодка снова скрывается и уходит прямолинейно в неизвестном направлении. Скорость катера равна \(n\) скоростям лодки. Требуется найти траекторию катера, обеспечивающую перехват.

Задание

  1. Выполнить вывод дифференциальных уравнений при условии, что скорость катера больше скорости лодки в \(n\) раз.
  2. Построить траектории катера и лодки для двух вариантов начальных условий.
  3. По графикам определить момент перехвата (точку пересечения траекторий).

Теория: постановка и вывод модели

Обозначения и выбор координат

Положим \(t_0=0\) — момент обнаружения лодки.

Начальные положения:

  • лодка: \(X_0=0\),
  • катер: на расстоянии \(k\) от лодки (относительно полюса).

Переходим к полярным координатам \((r,\theta)\):

  • полюс — точка обнаружения лодки,
  • ось \(r\) направлена через начальное положение катера.

Момент смены режима движения

Ищем расстояние \(x\), при котором катер и лодка оказываются на одинаковом расстоянии от полюса.

За одно и то же время \(t\):

  • лодка проходит \(x\),
  • катер проходит \(x+k\) или \(x-k\) (в зависимости от начальной конфигурации).

Из равенства времен получаются два режима начальных условий:

  • case = plus: \[ x_1=\frac{k}{n+1}, \quad \theta_0=0 \]
  • case = minus: \[ x_2=\frac{k}{n-1}, \quad \theta_0=-\pi \]

Разложение скорости и система ОДУ

Скорость катера равна \(n\upsilon\), где \(\upsilon\) — скорость лодки.

Разложение скорости катера:

  • радиальная компонента: \(v_r=\frac{dr}{dt}\),
  • тангенциальная компонента: \(v_t=r\frac{d\theta}{dt}\).

Требование «не отставать по радиусу»: \[ \frac{dr}{dt}=\upsilon. \]

Из соотношения модулей: \[ (n\upsilon)^2=v_r^2+v_t^2 \quad \Rightarrow \quad v_t=\upsilon\sqrt{n^2-1}. \]

Следовательно: \[ r\frac{d\theta}{dt}=\upsilon\sqrt{n^2-1}. \]

Уравнение траектории катера

Исключая параметр \(t\), получаем: \[ \frac{dr}{d\theta}=\frac{r}{\sqrt{n^2-1}}. \]

Качественный вывод: траектория катера в полярных координатах — расходящаяся спираль экспоненциального типа.

Эксперимент: численное моделирование

Исходные данные для расчётов

Дано:

  • расстояние обнаружения: \(k=20\) км,
  • отношение скоростей: \(n=5\).

Требуется:

  • построить траектории катера и лодки,
  • по пересечению кривых определить точку перехвата.

Базовый эксперимент: case = plus (график)

Базовый эксперимент: case = plus (интерпретация)

Наблюдения:

  • траектория катера — спираль, удаляющаяся от полюса;
  • радиус \(r\) возрастает при росте угла \(\theta\);
  • траектория лодки в полярных координатах выглядит как луч (прямолинейное движение в декартовых координатах).

Базовый эксперимент: case = minus (график)

Базовый эксперимент: case = minus (интерпретация)

Отличия от режима case=plus:

  • стартовый радиус больше, траектория «сдвинута» наружу;
  • форма спирали сохраняется, меняется только масштаб из-за начальных условий.

Параметрический анализ

Сканирование по параметру \(n\) (график)

Сканирование по параметру \(n\) (выводы)

Из уравнения \[ \frac{dr}{d\theta}=\frac{r}{\sqrt{n^2-1}} \] следует, что коэффициент роста по углу равен \(1/\sqrt{n^2-1}\), поэтому:

  • при малых \(n\) спираль расходится быстрее;
  • при больших \(n\) рост радиуса замедляется;
  • траектории выглядят более «пологими».

Метрика \(\text{scale\_ratio}\) (определение)

Введём относительную метрику масштаба: \[ \text{scale\_ratio}=\frac{r_{\text{final}}}{\max(r_{\text{boat}})}. \]

Метрика \(\text{scale\_ratio}\) (график)

Метрика \(\text{scale\_ratio}\) (интерпретация)

  • при малых \(n\) \(\text{scale\_ratio} \gg 1\): траектория катера существенно «крупнее» траектории лодки;
  • при росте \(n\) значение быстро уменьшается;
  • при больших \(n\) масштабы сближаются.

Для режима case=minus значения обычно выше из-за большего начального радиуса.

Время вычислений (график)

Время вычислений (комментарии)

  • время вычислений порядка \(\sim 6\times10^{-4}\) сек;
  • явной зависимости от \(n\) не наблюдается;
  • небольшие колебания связаны с адаптивным шагом интегрирования.

Итоги

Выводы

  1. Траектория катера в полярных координатах описывается расходящейся спиралью экспоненциального характера.
  2. Параметр \(n\) управляет скоростью роста радиуса: чем больше \(n\), тем медленнее увеличивается \(r\) при изменении \(\theta\).
  3. Режим начальных условий (case) определяет масштаб траектории, практически не влияя на её форму.
  4. Численное моделирование устойчиво, а вычислительные затраты слабо зависят от \(n\).