Цель работы

Показать, как строится математическая модель, позволяющая выбрать оптимальную стратегию поиска и преследования.

Сюжет: в тумане катер береговой охраны преследует лодку браконьеров. На короткий промежуток времени видимость улучшается, и лодка фиксируется на расстоянии \(k\) км от катера. Далее лодка снова скрывается и уходит прямолинейно в неизвестном направлении. Скорость катера равна \(n\) скоростям лодки. Требуется найти траекторию катера, обеспечивающую перехват.

Задание

1. Выполнить вывод дифференциальных уравнений при условии, что скорость катера больше скорости лодки в \(n\) раз.
2. Построить траектории катера и лодки для двух вариантов начальных условий.
3. По графикам определить момент перехвата (точку пересечения траекторий).

Обозначения и выбор координат

Положим \(t_0=0\) — момент обнаружения лодки.

Начальные положения:

• лодка: \(X_0=0\),
• катер: на расстоянии \(k\) от лодки (относительно полюса).

Переходим к полярным координатам \((r,\theta)\):

• полюс — точка обнаружения лодки,
• ось \(r\) направлена через начальное положение катера.

Момент смены режима движения

Ищем расстояние \(x\), при котором катер и лодка оказываются на одинаковом расстоянии от полюса.

За одно и то же время \(t\):

• лодка проходит \(x\),
• катер проходит \(x+k\) или \(x-k\) (в зависимости от начальной конфигурации).

Из равенства времен получаются два режима начальных условий:

• case = plus: \[ x_1=\frac{k}{n+1}, \quad \theta_0=0 \]
• case = minus: \[ x_2=\frac{k}{n-1}, \quad \theta_0=-\pi \]

Разложение скорости и система ОДУ

Скорость катера равна \(n\upsilon\), где \(\upsilon\) — скорость лодки.

Разложение скорости катера:

• радиальная компонента: \(v_r=\frac{dr}{dt}\),
• тангенциальная компонента: \(v_t=r\frac{d\theta}{dt}\).

Требование «не отставать по радиусу»: \[ \frac{dr}{dt}=\upsilon. \]

Из соотношения модулей: \[ (n\upsilon)^2=v_r^2+v_t^2 \quad \Rightarrow \quad v_t=\upsilon\sqrt{n^2-1}. \]

Следовательно: \[ r\frac{d\theta}{dt}=\upsilon\sqrt{n^2-1}. \]

Уравнение траектории катера

Исключая параметр \(t\), получаем: \[ \frac{dr}{d\theta}=\frac{r}{\sqrt{n^2-1}}. \]

Качественный вывод: траектория катера в полярных координатах — расходящаяся спираль экспоненциального типа.

Исходные данные для расчётов

Дано:

• расстояние обнаружения: \(k=20\) км,
• отношение скоростей: \(n=5\).

Требуется:

• построить траектории катера и лодки,
• по пересечению кривых определить точку перехвата.

Базовый эксперимент: case = plus (график)

Базовый эксперимент: case = plus (интерпретация)

Наблюдения:

• траектория катера — спираль, удаляющаяся от полюса;
• радиус \(r\) возрастает при росте угла \(\theta\);
• траектория лодки в полярных координатах выглядит как луч (прямолинейное движение в декартовых координатах).

Базовый эксперимент: case = minus (график)

Базовый эксперимент: case = minus (интерпретация)

Отличия от режима case=plus:

• стартовый радиус больше, траектория «сдвинута» наружу;
• форма спирали сохраняется, меняется только масштаб из-за начальных условий.

Сканирование по параметру \(n\) (график)

Сканирование по параметру \(n\) (выводы)

Из уравнения \[ \frac{dr}{d\theta}=\frac{r}{\sqrt{n^2-1}} \] следует, что коэффициент роста по углу равен \(1/\sqrt{n^2-1}\), поэтому:

• при малых \(n\) спираль расходится быстрее;
• при больших \(n\) рост радиуса замедляется;
• траектории выглядят более «пологими».

Метрика \(\text{scale\_ratio}\) (определение)

Введём относительную метрику масштаба: \[ \text{scale\_ratio}=\frac{r_{\text{final}}}{\max(r_{\text{boat}})}. \]

Метрика \(\text{scale\_ratio}\) (график)

Метрика \(\text{scale\_ratio}\) (интерпретация)

• при малых \(n\) \(\text{scale\_ratio} \gg 1\): траектория катера существенно «крупнее» траектории лодки;
• при росте \(n\) значение быстро уменьшается;
• при больших \(n\) масштабы сближаются.

Для режима case=minus значения обычно выше из-за большего начального радиуса.

Время вычислений (график)

Время вычислений (комментарии)

• время вычислений порядка \(\sim 6\times10^{-4}\) сек;
• явной зависимости от \(n\) не наблюдается;
• небольшие колебания связаны с адаптивным шагом интегрирования.

Выводы

1. Траектория катера в полярных координатах описывается расходящейся спиралью экспоненциального характера.
2. Параметр \(n\) управляет скоростью роста радиуса: чем больше \(n\), тем медленнее увеличивается \(r\) при изменении \(\theta\).
3. Режим начальных условий (case) определяет масштаб траектории, практически не влияя на её форму.
4. Численное моделирование устойчиво, а вычислительные затраты слабо зависят от \(n\).