Лабораторная работа № 2
2026-02-26
Показать, как строится математическая модель, позволяющая выбрать оптимальную стратегию поиска и преследования.
Сюжет: в тумане катер береговой охраны преследует лодку браконьеров. На короткий промежуток времени видимость улучшается, и лодка фиксируется на расстоянии \(k\) км от катера. Далее лодка снова скрывается и уходит прямолинейно в неизвестном направлении. Скорость катера равна \(n\) скоростям лодки. Требуется найти траекторию катера, обеспечивающую перехват.
Положим \(t_0=0\) — момент обнаружения лодки.
Начальные положения:
Переходим к полярным координатам \((r,\theta)\):
Ищем расстояние \(x\), при котором катер и лодка оказываются на одинаковом расстоянии от полюса.
За одно и то же время \(t\):
Из равенства времен получаются два режима начальных условий:
Скорость катера равна \(n\upsilon\), где \(\upsilon\) — скорость лодки.
Разложение скорости катера:
Требование «не отставать по радиусу»: \[ \frac{dr}{dt}=\upsilon. \]
Из соотношения модулей: \[ (n\upsilon)^2=v_r^2+v_t^2 \quad \Rightarrow \quad v_t=\upsilon\sqrt{n^2-1}. \]
Следовательно: \[ r\frac{d\theta}{dt}=\upsilon\sqrt{n^2-1}. \]
Исключая параметр \(t\), получаем: \[ \frac{dr}{d\theta}=\frac{r}{\sqrt{n^2-1}}. \]
Качественный вывод: траектория катера в полярных координатах — расходящаяся спираль экспоненциального типа.
Дано:
Требуется:
Наблюдения:
Отличия от режима case=plus:
Из уравнения \[ \frac{dr}{d\theta}=\frac{r}{\sqrt{n^2-1}} \] следует, что коэффициент роста по углу равен \(1/\sqrt{n^2-1}\), поэтому:
Введём относительную метрику масштаба: \[ \text{scale\_ratio}=\frac{r_{\text{final}}}{\max(r_{\text{boat}})}. \]
Для режима case=minus значения обычно выше из-за большего начального радиуса.